こんばんは。
1級建築士試験の構造分野で、必ず出てくるものが「梁公式」。しかし、以前の記事でも書いた通り、できれば「梁公式は覚えない」ほうが良いと思っております。
もちろん、確実に暗記できる人は覚えても良いですし、普段仕事で使っている人*1で既に覚えてしまった人はそれでも良いのですが、そうでない人のために、そもそも梁公式ってどうやって導出されるのかを紹介します。
曲率と曲げモーメントの関係式
図のように梁に荷重が作用すると、変形後には材軸線は変化しますが、ある位置xでの材軸線の鉛直方向への変位をたわみv(x)、接線の傾きをたわみ角θ(x)といいます。また、このたわみ角θ(x)のxに対する変化率を曲率といいます。
*2
さらに、梁のヤング係数をE、断面2次モーメントをI(位置xによらず一定とします)とすると、曲率と曲げモーメントには以下の関係が成り立ちます。*3
たわみ曲線の微分方程式
位置xにおける梁のy方向への変位(たわみ)をv(x)とすると、微小変形の範囲では、となります。ということで、上で出てきた曲げ剛性EIと曲率
および曲げモーメントMの関係式は以下の通りとなります。
あとは、この微分方程式を積分して行けばたわみv(x)やたわみ角θ(x)を求めることができます。
基本となるパターンでの導出の例
梁の問題は、梁の形状(端部の支持条件)と荷重の種類で分類できます。基本的には、形状として片持ち梁と単純梁の2種類、荷重は集中荷重と分布荷重の2種類があります。
片持ち梁×集中荷重
片持ち梁の先端に荷重Pが作用するというものです。最も基本となる形ですね。
静定構造なので反力は力の釣合いから求まります。さらにそこから曲げモーメントM(x)を求めると、となります。
あとは、このM(x)を上の式に代入して積分していきます。
後は境界条件としてと
を入れて整理すると、
ということで、これにx=L を入れると、梁公式である
が得られます。
単純梁×集中荷重
単純梁の場合もほぼ同じですが、曲げモーメントと境界条件が少し変わります。
曲げモーメント
境界条件
,
あとは上と同じように積分を計算すれば梁公式が得られます。
片持ち梁×等分布荷重
等分布荷重の場合、曲げモーメントがxの2次式になるのが特徴です。
あとは、集中荷重の時と同じように積分するだけです。
分布荷重になったので、それぞれの式に出てくる梁長さLのべき乗のところが1つ大きくなります。
単純梁×分布荷重
こちらも上と同様に積分するだけなので詳細は割愛。
ということで、梁公式の導出についてでした。今回は最も基本的な4種類の梁を対象としました。他にもいろんなタイプの梁が出てきますが、基本は簡単で、これら4種類の梁の組み合わせで考えることができます。
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